先看概率，再看赔率

许多人将股票交易看作类似赌博的游戏，反正玩法无非就是争取低买高卖，赚得差价。从投机角度来看，炒股确实可视作一种赌博。

从投资角度看呢？投资，也是面对不确定性的未来去“下注”，争取获利，似乎也是另一种形式的赌博而已。

依我的理解，这两种“赌博”之间的主要区别，好像只在于投资所追求的把握要更高，而通常历经的时间也要更长。当然两者的世界观和方法论也都有差异，那是另一个话题。

我们将投资也看作一种特殊的赌博，那么有两个有意思的观察角度，即概率和赔率。

我还特地去查了下，“概率”一词的英文是probability，而“赔率”的英文是odds。但是这两个英文单词，本质上都可以翻译作“可能性”，含义是相当的。

那我们在此说的概率和赔率，究竟有什么区别呢？这么理解吧：概率是指一个客观的可能性，而赔率是市场或赌局所给出的、所预测的可能性。

以抛硬币为例，出现正反面的概率大致是50%；而赔率却可以因不同的赌局而异。

假如赔率是2倍，即每投入1元获胜可得2元（失败损失本金1元），那么这个游戏的数学期望收益刚好是0。

但假如赔率是1.5倍，即每投入1元获胜可得1.5元（失败损失本金1元），那么这个游戏的数学期望是负的（-0.25元），根本不值得你去玩。

万一赔率是2.5倍，即每投入1元获胜可得1.5元（失败损失本金1元），那这个赌局的庄家很可能在犯一个错误，玩家大可积极参与这个游戏，平均下来每局可以赢得0.25元收益。

任何理性人参与一个赌局或游戏，前提条件是数学期望应为正值，说白了就是预期要能赚钱，否则就不该参与。但是市场可以选择的标的（赌局）那么多，人们究竟应该参与哪一个，以及应该投入多少呢？

我设计下面两个游戏——

游戏A：箱子里有100个小球，其中60个红球，40个白球。抽中红球，你即可赢得10元；抽中白球，你需要付出下注的金额10元，下注金额可以翻倍。

游戏B：箱子里有100个小球，其中80个红球，20个白球。抽中红球，你即可赢得5元；抽中白球，你需要付出下注的金额10元，下注金额可以翻倍。

假如你现在身上带着100元，你更愿意参加哪个游戏？每次投注多少钱？

明眼人已经算得出来了，无论游戏A或者游戏B，其实参与每局（10元）的数学期望都是赢得2元。从这个角度而言，参与任一游戏，长期而言都是等价的。

比如你两个游戏分别玩了1万局，那么最终两边应该都是差不多赢2万元。玩的局数越多，两边的差异只会越小，这就是大数定律。

但只有100元的限制条件下，你更愿意参与哪个游戏呢？以及，每次投注多少钱？这就是个相对复杂一点的话题。

这里我们需要引入“凯利公式”。

其中——

f*为现有资金应进行下次投注的比例；

b为投注可得的赔率（不含本金）；

p为获胜率；

q为落败率，即1-p。

凯利公式其实有严格的推导过程（并不难），由约翰·拉里·凯利（John Larry Kelly, Jr.）1956年发表。

我们分别算下两个游戏每次应该下注的比例：

f(A)=[(10/10)*0.6-0.4]/(10/10)=0.2/1=20%

f(B)=[(5/10)*0.8-0.2]/(5/10)=0.2/0.5=40%

也就是说，玩游戏A，为了实现长期增长率最大化，你应该每次投注当前本金的20%；而玩游戏B的话，应该每次投注当前本金的40%。理论上来讲，参与游戏B财富积累增长的效率更高。

这种效率的差异会有多大呢？我们按初始100元来算看看。为方便起见，直接按数学期望值做下测算。

因为游戏A每次只能投入20%，而游戏B每次投入40%，所以日积月累，玩了50次之后，游戏A我们财富积累到710元，而游戏B我们将财富积累到4690元之多！

当然，因为存在随机因素，这只是一个理论上的结果。现实世界中，完全有可能是玩游戏A的人领先（比如A运气好连续赢而B连续输），只是说概率上而言，玩游戏B的优势明显会更大。

为了进一步说明道理，我们再引入两个更极端一点的游戏——

游戏C：箱子里有100个小球，其中51个红球，49个白球。抽中红球，你即可赢得15元；抽中白球，你需要付出下注的金额10元，下注金额可以翻倍。

游戏D：箱子里有100个小球，其中99个红球，1个白球。抽中红球，你即可赢得1元；抽中白球，你需要付出下注的金额10元，下注金额可以翻倍。

计算可知，玩游戏C的数学期望是每局（10元）平均能赢得2.75元，而玩游戏D的数学期望是每局（10元）平均能赢得0.89元。

A、B、C、D四个游戏，假如我们有无限可投的本金，以及无限可参与的次数，那么显然我们参与游戏C是最划算的，因为数学期望值更高；相反游戏D是最不划算的，因为数学期望最低。

但是根据凯利公式，在资源有限的情况下，游戏C和游戏D我们每次应投入的本金比例差异很大。

f(C)=[(15/10)*0.51-0.49]/(15/10)=0.275/1.5=18.33%

f(D)=[(1/10)*0.99-0.01]/(1/10)=0.089/0.1=89%

游戏C每次参与18.33%就好了，而游戏D值得每次压上89%的本金。

我们看下四个游戏按凯利公式得到的本金比例投注结果会如何——

数学期望最高的游戏C，实际增长反而不是最高的。数学期望最低的游戏D，实际增长也不是最低的，甚至还挺高的。

所以我们不单单要看一个赌局的数学期望，还应该同时考虑它值得投入的本金比例。而在（考虑概率之后）收益相当的情况下，显然仍应该追求把握更大的——因为可以投入更高比例的本金。

针对概率更小的赌局，除了赔率需要能够匹配提高以使得数学期望值相等之外，显然还需要额外的“风险溢价”进一步提高赔率，才真正值得玩家参与。

换言之，对我们投资的启示是：有把握的股票，才更值得我们重仓；把握低的股票，因为投资者们适合投入的金额比例也应下降，所以预期的收益需要超幅度地提高。

但现实的投资世界中，却也并不是那么简单。

首先，投资股票通常很难损失掉所有本金，盈利的幅度（尤其短期内）也很难超过1倍之类的那么多。

其次，类似游戏D理论上值得投入89%本金比例的赌局，在投资中我是强烈反对的，因为现实中你很难找到这种99%盈利的投资机会（或者往往收益率很低），而现实中也不是每只股票都是预期正收益，很多根本不值得投资。

再次，现实中投资股票的收益率是与持股时长高度相关的，不是一竿子买卖，这点与凯利公式所设计的模型也差异极大。

总之，凯利公式还是给我们一个重要的启示，就是：先看概率，再看赔率。赔率越高，通常概率越低，值得投入的仓位也很小，纯属浪费精力的可能性很大。